Maximos y Minimos

Ejemplo1.-El dueño de un edificio de 60 departamentos ha encontrado que puede rentarlos todos a 1000€ cada uno, sin embargo por cada aumento de 20€ en la renta perderá un inquilino.

¿Cuál debe ser la renta para maximizar sus ingresos?

Ingresos=#dep*renta

I=(60-x)*(100+y)

I(X)=(60-x)*(100+20x)

I’(x)=(60-x)20+(1000+20x)(-1)

I’(X)=1200-20x-1000-20x

I’(X)=200-40x

0=200-40x

40x=200

X=20/4 =5

X=5

I”(x)=-40

I”(5)= -40<0 max

I(5)=(60-5)(1000+20(5))

I(5)=55*(1000+100) =55*1100

I(5)= 60,500€

Ejemplo2.- La compañía de reproducciones originales “El pirata feliz” puede producir un máximo de 30 DVD’s diarios, se estima que pueden vender h videos a P pesos cada uno en donde P=120-2n

El costo total de producir n videos esta dado por:

C(n)=500+8n+n^2 pesos

¿Cuántos DVD’s debería vender para obtener máximas ganancias?

Ganancias=Entra-Sale

G=Ventas-Costos

G=np-(500+8n+n^2)

G=n(120-2n)-(500+8n+n^2)

G=-3n^2 +112n-500

G’(n)=-6n+112

0=-6n+112

-112=-6n

112/6=n

N=18.6

G”(n)=-6

G”(18.6)=-6 <0 max

G(18.6)=-3(18.6)^2 +112(18.6) -500= 545.32

G(18)=-3(18)^2 +112(18) -500= 544

G(19)=-3(19)^2 +112(19) -500= 545

P= 120-2n =82

Ejemplo3.-En una reacción auto catalítica la tasa de formación R a la que se forma una nueva sustancia, originada por 150 unidades de una sustancia dada es igual a:

R(x)=10x (150-x)

En donde x es la cantidad de nueva sustancia. ¿Para qué valor de x, es mínima la velocidad de reacción?

R’(x)=(10x)-1 +(150-x)10

R’(x)= -10x+150+10x

R’(x)=-20x+1500

0=1500-20x

20x=1500

X=150/2 =75

R”(x)= -20

R”(75)=-20 <0 max

Velocidad minima x=150 y 0