Graficacion

Graficar las siguientes funciones

Ejemplo1.-

Ejemplo2.-

Ejemplo3.-

Ejemplo4.-

Ejemplo5.-

Graficacion I

Para graficar seguimos 5 pasos fundamentales:
1.-Encontrar corte con el eje y
2.-Encontrar cortes con el eje x
3.-Encontrar los puntos criticos
4.-Evaluar en la segunda derivada
5.-Evaluar en la funcion original.

Ejemplo

Maximos y Minimos

Ejemplo1.-El dueño de un edificio de 60 departamentos ha encontrado que puede rentarlos todos a 1000€ cada uno, sin embargo por cada aumento de 20€ en la renta perderá un inquilino.

¿Cuál debe ser la renta para maximizar sus ingresos?

Ingresos=#dep*renta

I=(60-x)*(100+y)

I(X)=(60-x)*(100+20x)

I’(x)=(60-x)20+(1000+20x)(-1)

I’(X)=1200-20x-1000-20x

I’(X)=200-40x

0=200-40x

40x=200

X=20/4 =5

X=5

I”(x)=-40

I”(5)= -40<0 max

I(5)=(60-5)(1000+20(5))

I(5)=55*(1000+100) =55*1100

I(5)= 60,500€

Ejemplo2.- La compañía de reproducciones originales “El pirata feliz” puede producir un máximo de 30 DVD’s diarios, se estima que pueden vender h videos a P pesos cada uno en donde P=120-2n

El costo total de producir n videos esta dado por:

C(n)=500+8n+n^2 pesos

¿Cuántos DVD’s debería vender para obtener máximas ganancias?

Ganancias=Entra-Sale

G=Ventas-Costos

G=np-(500+8n+n^2)

G=n(120-2n)-(500+8n+n^2)

G=-3n^2 +112n-500

G’(n)=-6n+112

0=-6n+112

-112=-6n

112/6=n

N=18.6

G”(n)=-6

G”(18.6)=-6 <0 max

G(18.6)=-3(18.6)^2 +112(18.6) -500= 545.32

G(18)=-3(18)^2 +112(18) -500= 544

G(19)=-3(19)^2 +112(19) -500= 545

P= 120-2n =82

Ejemplo3.-En una reacción auto catalítica la tasa de formación R a la que se forma una nueva sustancia, originada por 150 unidades de una sustancia dada es igual a:

R(x)=10x (150-x)

En donde x es la cantidad de nueva sustancia. ¿Para qué valor de x, es mínima la velocidad de reacción?

R’(x)=(10x)-1 +(150-x)10

R’(x)= -10x+150+10x

R’(x)=-20x+1500

0=1500-20x

20x=1500

X=150/2 =75

R”(x)= -20

R”(75)=-20 <0 max

Velocidad minima x=150 y 0

Integrales Impropias

Sea f(x) una función. Se dice que la función es integrable si la función es continua en casi todas partes.

Integre.

1.- Integre

Serie de McLaurin

La serie se define de la siguiente manera:

Ejemplo:

       Calcular 

Se obtuvo el valor de e con serie de McLaurin

Razones de Cambio

Se define como razón de cambio entre dos variables al cociente que se efectúa entre dos cantidades infinitamente pequeñas de esas variables.

Ejemplo.- Un móvil se mueve sobre la trayectoria S(t)= t^2 +2

¿Cuál es la razón de cambio con respecto al tiempo cuando t=4seg?

Ejemplo2.- Una colonia de bacterias se comporta mediante la relación

B(t)=4t^3+3t

¿Con qué velocidad crece la colonia cuando t=5seg?

OBSERVACION: A las cantidades infinitamente pequeñas les llamaremos "Diferenciales".

Ejemplo3.- El cambio de volumen de un globo cuando se infla esta dado por

V(t)=2t^4-3t^2+5t-2

Encuentre la rapidez con que aumenta el volumen cuando t=3seg

Ejemplo4.- Un cuadrado se expande de forma que su lado cambia a razón de 2cm por segundo cuando su lado es de 6cm de largo.

Encuentre la razón de cambio de su área.

Serie de Taylor

Sea una serie de potencias definida como:

De esta manera se obtiene la serie, a continuacion veremos la continuación de la misma, llamada Serie de McLaurin con un ejemplo detallado.